이산수학/집합과 논리 - 명제

명제란?

• 객관적으로 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이나 수식
• 이때, 보통 참인 경우 알파벳 T로 거짓인 경우 알파벳 F로 표시한다.
• 참,거짓을 가리키는 값을 진릿값(Truth value)라고 한다.
• 명제는 일상적인 언어에서는 일반적으로 말하는 문장과 같은 의미로 사용이 되며, 논리학에서는 논리적 판단을 언어나 기호로 나타낸 것을 나타내기도 한다.
• 하지만 수학에서는 참과 거짓을 판단할 수 있는 경우에 국한해서 명제라고 지칭한다.
• 어떤 문장이 명제가 되기 위해서는 어떤 조건을 가져야 할까 ?
  • 먼저 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 내용이 포함되어야 한다. 가령 1과 1을 더하시오와 같은 명령형 문장이나 1과 1을 더했는가?와 같은 의문형 문장 같은 경우에는 일반적으로 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 내용이 없기 때문에 명제가 될 수 없다.
  • 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 내용이라고 하더라도 그것을 판단할 수 있는 전제가 충분해야 한다.
    보통 우리는 자연수와 그것의 사칙연산이 정의된 상황에서 1+1=2와 같은 명제를 다룬다.
    그러한 상황에서는 1+1=2는 정의에 부합하기 때문에 참인 명제가 되고 1+1=3은 정의에 부합하지 않기 때문에 거짓인 명제가 된다.
    하지만 만약 자연수와 그것의 사칙연산이 정의되지 않은 상황이라면 1+1=2는 판단할 수 있는 근거가 없으므로 명제가 될 수 없다.
• 일상적인 상황에서 우리는 아름다움과 같은 단어에 대해서는 절대적인 정의를 하지 않는다.
  그렇기 때문에 주어진 어떤 꽃 A에 대해서 꽃 A는 아름답다.라는 문장은 명제가 될 수 없다.
  다만, 우리가 아름다움을 절대적인 기준에 의해 계량화 할 수 있는 기계를 개발해서 그 기계의 판단에 의해서 주어진 꽃의 아름다움을 판단할 수 있다면 꽃 A는 아름답다.라는 문장 역시 명제가 될 수 있다.
  한편 어떤 집단에서 아름다움을 결정하는 모임이라는 모임을 만들어 모든 아름다움의 기준을 그 모임의 결정에 따른다고 한다면, 그 경우에도 그 집단 안에서는 꽃 A는 아름답다라는 문장은 명제가 될 수 있다.
• 이와 같이 일상적인 경우에는 명제가 될 수 없는 문장이라도 그 문장을 판단하는 절대적인 기준을 만들거나 한정된 범위에서만 따르는 기준을 만든다면 그 문장은 명제가 될 수 있다.