카지노에서 블랙잭을 하는 것과 주식에 투자하는 것은 얼마나 다를까? 겉보기에는 둘 다 돈을 걸고 결과를 기다리는 게임처럼 보인다. 하지만 수학적으로 보면 이 둘은 완전히 다른 세계다. 도박은 설계상 당신이 이길 확률이 낮게 만들어져 있지만, 투자는 올바른 수학적 접근으로 양의 기대값을 만들 수 있다. 오늘은 이 차이점을 확률과 통계로 분석해보자.
도박이론의 핵심은 기대값(Expected Value)이다. 기대값은 여러 가능한 결과들의 가중평균을 의미한다.
$$E = \sum_{i=1}^{n} p_i \times x_i$$
여기서 $p_i$는 각 결과의 확률이고, $x_i$는 각 결과의 값이다.
간단한 예시로 동전 던지기를 해보자. 앞면이 나오면 2원을 받고, 뒷면이 나오면 1원을 잃는다고 하자.
기대값 계산
$$E = 0.5 \times 2 + 0.5 \times (-1) = 1 - 0.5 = 0.5$$
이 게임의 기대값은 0.5원이다. 즉, 한 번 할 때마다 평균적으로 0.5원을 벌 수 있다는 뜻이다.
하지만 실제 카지노 게임들은 완전히 다르다. 카지노는 수익을 내기 위해 모든 게임의 기대값을 음수로 설계했다. 이게 바로 도박이 위험한 이유다.
룰렛을 예로 들어보자. 미국식 룰렛에는 0과 00이 있어서 총 38개의 숫자가 있다. 빨간색에 걸면 2배를 받는다고 하자.
1원을 걸었을 때의 기대값
$$E = 0.474 \times 1 + 0.526 \times (-1) = 0.474 - 0.526 = -0.052$$
즉, 한 번 할 때마다 평균적으로 0.052원(약 5.2%)을 잃는다. 이것이 바로 카지노의 하우스 엣지(House Edge)다.
더 구체적인 수치를 보자. 일반적인 카지노 게임들의 하우스 엣지는 다음과 같다
이게 얼마나 무서운 수치인지 계산해보자. 100만원을 가진 사람이 블랙잭을 한다면
예상 손실 = 1,000,000원 × 0.5% = 5,000원
하루에 10게임만 해도 50,000원을 잃는다. 한 달이면 150만원, 1년이면 1,825만원을 잃는다. 원금 100만원이 모두 사라지는 건 시간문제다.
도박과 달리 투자에서는 상황이 완전히 다르다. 올바른 접근을 한다면 양의 기대값을 만들 수 있다. 같은 100만원을 투자에 쓴다면 어떻게 될까?
투자에서 가장 강력한 무기는 복리(Compound Interest)다. 복리 공식은 다음과 같다:
$$A = P(1 + r)^n$$
여기서:
역사적 데이터를 보면
같은 100만원을 S&P 500에 투자한다면
연간 예상 수익 = 1,000,000원 × 10.5% = 105,000원
하루에 약 288원씩 벌어들인다. 도박에서는 하루 5,000원씩 잃는데, 투자에서는 하루 288원씩 번다. 방향이 완전히 반대다.
30년 투자 시의 결과를 계산해보자. 복리 공식을 사용하면
공식 설명 A = P × (1 + r)^n
$$A = 1,000,000 \times (1.105)^{30} = 19,848,000$$
30년 후 약 1,985만원이 된다. 100만원이 20배로 불어난다. 도박에서는 원금이 사라지지만, 투자에서는 20배로 불어난다.
이제 핵심을 파악했다. 도박은 구조적으로 불리하고, 투자는 구조적으로 유리하다. 하지만 여기서 함정이 있다. 투자도 잘못 접근하면 도박이 될 수 있다.
많은 사람들이 “주식도 도박이 아닌가?”라고 생각한다. 맞다. 단기 매매는 본질적으로 도박과 같다.
하루 만에 10% 수익을 노리고 주식을 사고판다고 하자. 이때의 기대값을 계산해보자:
기대값 계산
$$E = 0.5 \times 0.1 + 0.5 \times (-0.1) = 0.05 - 0.05 = 0$$
거래 비용 0.3%를 고려하면
$$E = 0 - 0.003 = -0.003$$
거래 비용 0.3%만 고려해도 음의 기대값이 된다. 이는 블랙잭의 하우스 엣지 0.5%와 비슷한 수준이다.
반면 장기 투자는 수학적으로 유리한 구조를 가진다. 역사적 데이터를 보면
기대값 계산
$$E = 0.7 \times 0.1 + 0.3 \times (-0.05) = 0.07 - 0.015 = 0.055$$
연간 5.5%의 양의 기대값을 가진다. 도박과 투자의 차이가 여기에 있다.
수학적 투자에서 중요한 것은 얼마나 걸지 결정하는 것이다. Kelly Formula는 이를 수학적으로 계산해준다.
$$f^* = \frac{bp - q}{b}$$
여기서
예시: 60% 확률로 1.5배를 받는 게임
$$f^* = \frac{1.5 \times 0.6 - 0.4}{1.5} = \frac{0.9 - 0.4}{1.5} = \frac{0.5}{1.5} = 0.33$$
자산의 33%를 투자하는 것이 최적이다.
주식 투자에서 Kelly Formula를 적용해보자.
배당률 계산: 15% ÷ 10% = 1.5
$$f^* = \frac{1.5 \times 0.55 - 0.45}{1.5} = \frac{0.825 - 0.45}{1.5} = \frac{0.375}{1.5} = 0.25$$
포트폴리오의 25%를 해당 주식에 투자하는 것이 수학적으로 최적이다.
이제 구체적인 숫자로 비교해보자. 100만원을 가지고 있다고 가정하자.
100만원을 들고 블랙잭을 한다고 하자
같은 100만원을 S&P 500에 투자한다고 하자
도박 (블랙잭) 복리 공식으로 계산하면
$$A = 1,000,000 \times (0.995)^{10} = 951,000$$
→ 49,000원 손실
투자 (S&P 500) 복리 공식으로 계산하면
$$A = 1,000,000 \times (1.105)^{10} = 2,708,000$$
→ 1,708,000원 수익
차이: 1,757,000원이다. 10년 후 투자는 도박보다 2.85배 많은 금액을 만들어낸다.
개발자로서 수학적 사고를 투자에 적용해보자
def calculate_expected_value(probabilities, outcomes):
"""
기대값 계산 함수
"""
return sum(p * x for p, x in zip(probabilities, outcomes))
# 예시: 3가지 시나리오
probabilities = [0.3, 0.5, 0.2] # 확률
outcomes = [0.15, 0.08, -0.05] # 수익률
expected_return = calculate_expected_value(probabilities, outcomes)
print(f"기대 수익률: {expected_return:.2%}")
def kelly_formula(win_prob, win_return, loss_return):
"""
Kelly Formula 계산
"""
b = win_return / abs(loss_return) # 배당률
p = win_prob
q = 1 - p
f_star = (b * p - q) / b
return max(0, f_star) # 음수 방지
# 예시
optimal_position = kelly_formula(0.6, 0.15, -0.10)
print(f"최적 포지션 비율: {optimal_position:.1%}")
import numpy as np
def backtest_portfolio(returns, weights, periods=252):
"""
포트폴리오 백테스팅
"""
portfolio_returns = np.sum(returns * weights, axis=1)
cumulative_returns = np.cumprod(1 + portfolio_returns)
return cumulative_returns
# 예시 데이터
np.random.seed(42)
stock_returns = np.random.normal(0.0005, 0.02, 252) # 일일 수익률
bond_returns = np.random.normal(0.0002, 0.005, 252)
returns = np.column_stack([stock_returns, bond_returns])
weights = np.array([0.7, 0.3]) # 70% 주식, 30% 채권
portfolio_value = backtest_portfolio(returns, weights)
print(f"연간 수익률: {(portfolio_value[-1] - 1) * 100:.2f}%")
도박과 투자의 차이는 단순히 운명의 차이가 아니다. 수학적 구조의 차이다.
도박은 설계상 당신이 이길 확률이 낮게 만들어져 있다
모든 것이 음의 기대값을 만들도록 설계되어 있다. 100만원은 시간이 지날수록 줄어들고 결국 사라진다.
투자는 올바른 접근을 한다면 양의 기대값을 만들 수 있다
장기 우상향하는 시장 구조, 복리의 마법, 그리고 체계적인 리스크 관리를 통해 수학적으로 유리한 게임으로 만들 수 있다.
감에 의존하지 말고 수학에 의존하라. 기대값을 계산하고, Kelly Formula로 포지션을 조절하고, 복리의 힘을 믿고 장기적으로 접근하라. 그러면 도박이 아닌 진정한 투자가 될 것이다.
개발자로서 우리는 이미 논리적 사고와 수학적 분석에 익숙하다. 이 능력을 투자에도 적용해보자. 코드를 작성할 때처럼, 투자도 체계적이고 논리적으로 접근하면 성공할 수 있다.
도박은 확률적으로 불리한 게임, 투자는 수학적으로 설계할 수 있는 게임이다.
이 글은 개인적인 투자 경험과 학습 내용을 바탕으로 작성되었습니다. 투자에 대한 모든 결정은 본인의 책임하에 이루어져야 하며, 이 글의 내용은 투자 권유가 아닙니다.