기본가정 : n = 1일 때 P(1)은 참
귀납가정 : 어떤 자연수 k에 대하여 P(k)가 참일 경우 P(k+1)도 참
=> (1)에 의해 P(1)은 참이다.
=> (2)에 의해 P(1)이 참이므로 P(2)도 참이다.
=> (2)에 의해 P(2)이 참이므로 P(3)도 참이다.
이를 반복하여 적용하면 모든 자연수 n에 대하여 P(n)이 참이다.
일단 수학적 귀납법이 아닌 가우스가 발견한 방법으로 증명을 해보겠다.
우선 1부터 n까지의 수를 순서대로 나열한다. 이를 수열이라 한다. 이때 수열의 사장 첫 항은 1이고 마지막 항은 n이다.
이제 수열을 다시 뒤집어 나열한다. 이때 가정 첫 항은 n이고 마지막 항은 1이다.
각 항끼리 더해보면 n+1과 같은 값이 나타난다. 이 값은 뒤집은 수열과 원래 수열을 더한값과 같다.
즉, 원래 수열과 뒤집은 수열을 더한 값은 (n+1)n이 된다. 이 값을 2로 나누면 1에서부터 n까지의 합인 n(n+1)/2를 얻을 수 있다.
따라서 1에서부터 n까지의 합은 n(n+1)/2임을 보일 수 있다.
수학적 귀납법을 이용한 증명
=> n=1일 때 1의 합은 1이므로 n(n+1/2 = 1(1+1)/2 = 1이 성립한다.
=> n=k일 때 1부터 k까지의 합이 k(k+1)/2임을 가정한다.
=> n=k+1일 때, 1부터 k+1까지의 합을 구한다.
=> 1부터 k까지의 합에 k+1을 더하면 1부터 k+1까지의 합이 된다. 따라서, 1부터 k+1까지의 합은 k(k+1)/2 + (k+1)이 된다.
=>이를 정리하면, 1부터 k+1까지의 합은 (k+1)(k+2)/2가 된다.
따라서, n=k+1일 때, 1부터 n까지의 합이 n(n+1)/2임을 볼 수 있다.
모든 자연수 n에 대해 1부터 n까지의 합이 n(n+1)/2임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.